Деякі математичні задачі можна розв’язати за кілька хвилин, для інших знадобляться години. Є такі, на розв’язання яких треба витратити дні чи цілі місяці, а для деяких — роки та навіть століття! 

Задачі тисячоліття — 7 нерозв’язаних математичних проблем, які визначив Математичний інститут Клея у 2000 році. За розв’язання кожної з них передбачена премія розміром один мільйон доларів. 

Задачі дібрала наукова консультативна рада інституту, до якої долучилися математичні експерти з усього світу. Дослідники зосередилися на проблемах, яких математики не можуть розв’язати протягом багатьох років. 

Сьогодні пропонуємо ознайомитися з деякими з них.

Рівність класів P і NP

Стівен Кук (сформулював проблему P (легко знайти) проти NP (легко перевірити) у 1971 році)

Джерело: Encyclopedia Britannica

Леонід Левін (сформулював проблему P (легко знайти) проти NP (легко перевірити) у 1971 році)

Джерело: «Wikimedia Commons» 

Розв’язок деяких завдань, як-от квадратного рівняння чи задачі комівояжера, легко перевірити. Для рівняння треба просто замінити змінні їхніми числовими значеннями та переконатися у правильності виразу, а для задачі — упевнитися, що маршрут проходить між усіма заданими містами та повертається у точку старту найкоротшим шляхом. Але це не означає, що ці завдання так само легко розв’язати. 

Задачі, які легко розв’язати, належать до класу P, а ті, розв’язок яких легко перевірити, — до NP. Стівен Кук і Леонід Левін у 1971 році сформулювали проблему P проти NP. Її суть — у тому, чи легко розв’язати проблему, правильність розв’язку якої легко перевірити, тобто чи P = NP.

З 1986 року світові математики пропонували свої варіанти розв’язків цієї проблеми. Проте остаточного рішення не знайшли. 

Добуток двох великих простих чисел знайти легко. Проте, маючи добуток, складно відшукати, які саме два прості числа треба перемножити між собою. Тобто розкладання добутку цих двох чисел на множники не належить до класу P (легко перевірити). На цьому припущенні базується сучасна криптографія. Якщо довести, що P = NP, то більшість нинішніх схем шифрування можна буде легко зламати. 

Гіпотеза Годжа

Вільям Годж

Джерело: «MacTutor» 

Бернгард Ріман

Джерело: Encyclopedia Britannica

Цю гіпотезу висунув британський математик Вільям Годж у 1941 році. Математична спільнота не надавала їй належного значення аж до 1950 року. Тоді науковець презентував свої припущення на Міжнародному конгресі математиків у Кембриджі.

У математиці є складні фігури, наприклад кубічні поверхні чи еліптичні криві. Згідно з гіпотезою Годжа, такі складні поверхні можна розділити на простіші геометричні об’єкти, як-от криві, відрізки чи точки — за аналогією з тим, як розбираємо конструктор. Тоді кожну з цих деталей, які ще називають алгебраїчними циклами, можна описати за допомогою алгебраїчного рівняння та дослідити окремо. Так гіпотеза Годжа дає змогу перетворити геометричну проблему на алгебраїчну.

Гіпотеза Годжа доведена для фігур, які мають до трьох вимірів, як-от пряма, квадрат і куб. Проте математики ще не визначили, чи працюватиме гіпотеза для складніших фігур, які мають чотири та більше вимірів. 

Гіпотеза Рімана

У математиці є прості числа — це натуральні числа, що діляться націло лише самі на себе та на 1. До них належать 2, 3, 5, 7, 11… Досі математики не змогли збагнути, за якою закономірністю прості числа розміщуються у ряді натуральних.

Німецький математик Бернгард Ріман спробував розкрити цей секрет. У 1859 році він опублікував статтю «Про кількість простих чисел, менших за дану величину» (нім. «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse»). Учений зауважив, що частота простих чисел пов’язана із дзета-функцією Рімана.

Гіпотеза Рімана стверджує: всі розв’язки, за яких дзета-функція дорівнює нулю, мають лежати на одній вертикальній прямій у комплексній площині (це площина, яка має дійсні та уявні осі — прим. ред.). Нулі дзета-функції підказують ученим, як часто серед натуральних чисел трапляються прості. Нині функцію перевірили для перших десяти трильйонів рішень. Якщо хтось з учених доведе, що це твердження істинне для кожного рішення, — світ зможе відкрити таємниці, пов’язані з розподілом простих чисел. 

Теорія Янга — Міллса

Чженьнін Янг

Джерело: Department of Physics The Chinese University of Hong Kong

Роберт Міллс

Джерело: «Wikimedia Commons» 

Ця гіпотеза поєднує у собі математику та фізику. У 1954-му її презентували американський фізик китайського походження Чженьнін Янг та американський фізик Роберт Міллс. Учені запропонували описувати взаємодію елементарних частинок (мікрооб’єкти, що неможливо розщепити на частини — прим. ред.) за допомогою математичних структур, які використовують також у геометрії.

Нині теорія Янга — Міллса — основа більшості сучасних теорій елементарних частинок, а її прогнози підтвердили під час експериментів. Успішне застосування цієї теорії для опису сильної взаємодії елементарних частинок пов’язане з так званим розривом мас (mass gap). Це квантово-механічна властивість, за якою квантові частинки мають додатну масу, навіть якщо класичні хвилі поширюються зі швидкістю світла. Учені відкрили розрив мас у процесі експериментів та підтвердили його існування через комп’ютерне моделювання. Проте досі не вдалося зрозуміти теоретичне підґрунтя цієї властивості. 

Розв’язавши цю проблему, ми зможемо краще зрозуміти, як розвивався Всесвіт та як діють закони природи. 

Рівняння Нав’є — Стокса

Джордж Стокс

Джерело: «Wikimedia Commons» 

Клод Луї Нав’є

Джерело: «Wikimedia Commons» 

Як рухаються хвилі за човном або повітря за літаком? Допоможе дізнатися система диференціальних рівнянь Нав’є — Стокса! Вони описують потік рідин. 

Рівняння Нав’є — Стокса — узагальнення рівняння швейцарського математика Леонарда Ейлера, яким той у XVIII столітті описав рух нев’язкої рідини. У 1821 році французький інженер Клод-Луї Нав’є додав до виразу в’язкість. Це дозволило використовувати рівняння для опису в’язких рідин. Згодом британський фізик і математик Джордж Габріель Стокс удосконалив цю роботу та знайшов повні рішення для нев’язких двовимірних потоків. Проте знаходження розв’язків рівняння, що включають турбулентність та інші складні явища у потоці рідин і газів, які з’являються зі збільшенням швидкості у тривимірних потоках, ще досі — проблема.

З рівняннями Нав’є — Стокса працює завідувачка лабораторії математичних наук МАН та дослідниця внутрішніх хвиль Катерина Терлецька. Учена розповідає, що, хоч рівняння досі не мають загального розв’язку у вигляді функції чи виразу, їх можна застосовувати на практиці. Наприклад, спрощене рівняння Нав’є — Стокса може описувати солітонну хвилю. Приклад такої хвилі — цунамі. У відкритому океані вона має невелику амплітуду, але величезну довжину. Хвиля тривалий час рухається поверхнею океану, а досягаючи берега, стрімко підіймається вгору та може завдати шкоди. Саме тому ці хвилі потрібно заздалегідь фіксувати, хоча це не так і просто.

Рівняннями Нав’є — Стокса послуговуються під час прогнозування погоди — зауважує Катерина Терлецька. Адже погода залежить від руху атмосфери та океанічних течій, а їх можемо описати цими рівняннями. Окрім того, рівняння Нав’є — Стокса можуть описувати атмосферні чи океанічні забруднення, скажімо рух радіоактивної плями чи хімічної хмари.

Ілюстрації: Олена Ковальчук